CÁCH TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN
Bài viết này sunriverhoteldn.com.vn giới thiệu đến bạn đọc kim chỉ nan và hạng của ma trận kèm những ví dụ cùng phân loại các dạng toán trường đoản cú cơ bản đến nâng cấp về hạng của ma trận:
1. Tìm hạng của ma trận mang lại trước
Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1\ 2& - 1&3&1&3\ 3&2&0& - 1&2\ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$
Ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z\ y&z&x\ z&x&y endarray ight).$
Giải. Theo vi – ét bao gồm $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ với
Do kia $r(A)le 2.$ còn mặt khác $D_12^12=xz-y^2Rightarrow yD_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$
Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$
Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9\ 0&10&1&10 endarray
ight)$ bằng phương pháp định thức bao quanh.
Bạn đang xem: Cách tìm hạng của ma trận
Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2\ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3\ - 1&3&0\ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$
Kiểm tra các định thức cấp cho 4 phủ quanh định thức $D_123^123$ có
$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$
Vậy $r(A)=3.$
Ví dụ 10: Tìm hạng của ma trận
Giải. Có
Ta xét những định thức cấp 5 phủ quanh định thức cấp cho 4 trên
Vậy $r(A)=4.$
2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số
Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$có hạng bé dại nhất.
Ví dụ 2: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$có hạng nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Tìm $a$ để hạng của ma trận sau nhỏ dại nhất, cùng với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$
Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ minh chứng rằng với đa số $m$ thì $r(A)=3.$
Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$
Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$
Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$
Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$
Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$
Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận sau
$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n\ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n\ ...&...&...&...&...\ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n\ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$
Ví dụ 10: Tìm $m$ nhằm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ bé dại nhất.
Ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$
Giải. Có
$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$
Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn đọc tự kiểm tra).Ví dụ 12: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray
ight)$ bao gồm hạng bởi 2.
Xem thêm: Phân Tích Nội Dung Vấn Đề Cơ Bản Của Triết Học Là Gì ? Vấn Đề Cơ Bản Của Triết Học Là Gì
Ví dụ 13: Tìm số thực $a$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ bao gồm hạng nhỏ nhắn nhất.
Ví dụ 14. Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ to nhất.
3. Hạng của ma trận phụ hợp
Định lí. Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n,nge 2$ với $A^*$ là ma trận phụ vừa lòng của $A,$ khi ấy ta có:
$r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$Chứng minh xem bài giảng trên đây:https://sunriverhoteldn.com.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html
4. Dạng toán chứng minh về hạng của ma trận
Ta áp dụng các tính chất về hạng của ma trận sau đây:
$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ với $A,B$ là hai ma trận cùng cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ cùng với $A,B$ là hai ma trận bất kì làm thế nào cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ với $A,B$ là nhị ma trận vuông thuộc cấp.Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ toại nguyện $A^2=E.$ chứng tỏ rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$
Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:
$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$
Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$
Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ bao gồm $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ chứng tỏ rằng $r(A)ge n-1.$
Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ khi đó $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ cùng với
Do kia $det (C)-(-1)^n$ phân chia hết mang đến 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$
Mặt khác $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$
Ví dụ 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ bao gồm $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ tìm hạng của ma trận $A.$
Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$
Ta tất cả $r(B)=r(C)=1$ cùng $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$
Mặt khác $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$
Hiện tại sunriverhoteldn.com.vn gây ra 2 khoá học Toán cao cấp 1 với Toán cao cấp 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành tài chính của tất cả các trường:
Khoá học hỗ trợ đầy đủ kiến thức và phương thức giải bài bác tập các dạng toán đi kèm mỗi bài bác học. Khối hệ thống bài tập rèn luyện dạng trường đoản cú luận bao gồm lời giải chi tiết tại website để giúp đỡ học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học góp học viên được điểm A thi cuối kì những học phần Toán thời thượng 1 cùng Toán thời thượng 2 trong các trường kinh tế.
Xem thêm: Soạn Bài Luyện Tập Thao Tác Lập Luận Ptich, Soạn Bài Luyện Tập Thao Tác Lập Luận Phân Tích
Sinh viên những trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được full bộ này:
- ĐH kinh tế tài chính Quốc Dân
- ĐH ngoại Thương
- ĐH yêu quý Mại
- học viện Tài Chính
- học viện ngân hàng
- ĐH kinh tế ĐH nước nhà Hà Nội
và các trường đại học, ngành tài chính của những trường ĐH khác trên mọi cả nước...
